数值计算与模型验证¶
数值工具可以快速给出漂亮结果，却不会替你判断模型是否适用。可靠计算必须同时回答：方程表示什么、离散误差多大、参数是否可辨识、结果能否被另一种方法证实。
目的与学习成果¶
- 在求解前用量纲、数量级和极限情况检查模型；
- 识别条件数、离散误差、舍入误差和停止准则；
- 用网格或步长收敛证明结果不是绘图分辨率造成的；
- 比较解析、小规模手算和独立数值方法；
- 报告不确定度，而不是只给过多有效数字。
最小环境¶
- 任意支持数组、线性代数和绘图的数值环境；
- 纯文本脚本、参数文件和测试入口；
- 一个可手算的小问题；
- 可选的笔记本用于解释，不作为唯一执行入口。
记录实际工具版本、求解器选项和硬件差异。默认容差会随实现变化，关键容差应显式设置并说明理由。
学习顺序¶
- 量纲化：列出变量单位，选择参考尺度，得到无量纲参数。
- 基准问题：先求解有解析答案或可手算的小规模实例。
- 误差来源：区分模型误差、数据误差、离散误差和浮点误差。
- 收敛实验：逐步减小时间步、频率间隔或空间网格，追踪目标量。
- 敏感度：扰动参数和初值，观察结论是否稳健。
- 独立交叉：用另一算法、能量守恒或极限情况复核。
验证任务：RLC 状态空间积分¶
建立一个受阻尼 RLC 系统的状态空间模型：
- 手算初始斜率、稳态值和预期振荡/衰减区间；
- 用至少三种时间步长积分同一激励；
- 记录峰值、稳态值和能量残差；
- 画出目标量相对最细步长的误差；
- 改变一个元件容差并做局部敏感度分析；
- 用频域或解析极点结果独立核对动态特征。
验收要求目标量随步长收敛，守恒或耗散方向正确，且报告说明结论对容差的敏感程度。
常见失败与排查¶
- 矩阵可解但结果乱跳：检查条件数、变量尺度和近线性相关。
- 减小步长反而发散：检查算法稳定域、刚性、单位和实现错误。
- 曲线平滑但物理错误：核对符号、初值、边界条件与功率方向。
- 只报告求解器“成功”：定义与物理问题相关的残差和验收量。
- 有效数字过多：按输入不确定度和收敛误差限制报告精度。
- 随机扫描不可重放：固定种子，并保存采样分布和参数范围。
可复现证据¶
- 方程、假设、单位和参考尺度；
- 参数来源、范围和不确定度；
- 求解器、容差、步长和停止准则；
- 基准题结果与解析或手算对照；
- 收敛表、敏感度图和残差定义；
- 一条生成全部结果的命令；
- 失败案例与适用范围。
成本、许可与无障碍¶
开源数值环境足以完成练习。商业平台可用于课程兼容，但应导出脚本、参数和标准格式结果。记录求解器和数据许可证，不重新分发受限模型。
图表除颜色外使用线型、标记和直接标签；表格提供关键数值，结论用文字表述。低性能设备可缩小网格，但仍须完成至少三点收敛趋势。
安全边界¶
- 仿真通过不代表硬件安全，额定值、故障态和保护仍需独立审查；
- 不用未经验证的外推决定高能量操作边界；
- 数值不稳定与真实不稳定必须通过步长和独立方法区分；
- 医疗、功率、射频发射或控制执行器结论需要合格人员复核；
- 不隐藏不收敛、负物理量或违反守恒的结果。
完成清单¶
- 方程、单位、假设和边界条件已记录。
- 至少一个基准问题有独立答案。
- 完成三档以上步长或网格收敛。
- 残差和停止准则与物理目标相关。
- 参数敏感度和输入不确定度已评估。
- 图、表和文字给出一致结论。
- 一条命令可重建结果。
- 适用范围与安全限制清楚。
下一步可用SPICE 电路仿真练习器件模型，或用数据与实验记录对照实测结果。